Question

6．（1）觀察與發(fā)現(xiàn)：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{9×10}$=$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$，
以上各等式說明了什么運算規(guī)律？把這種規(guī)律用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示出來：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行計算：
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2015×2016}$；
（3）拓展延伸：
計算：$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{99×101}$．

Answer 1

分析 （1）歸納總結得到一般性規(guī)律，寫出即可；
（2）原式利用拆項法變形，計算即可得到結果；
（3）原式利用拆項法變形，計算即可得到結果．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$；
（3）原式=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{101}$）=$\frac{50}{101}$．
故答案為：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．

點評 此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．