Question

完成下列各題：
（1）如圖1，在等腰梯形ABCD中，E為底BC的中點(diǎn)，連接AE、DE．求證：△ABE≌△DCE．
（2）如圖2，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD切⊙O于點(diǎn)C，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∠A=30°，BD=10，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）由于四邊形BCD 是等腰梯形可得AB=CD，∠B=∠C，而E是BC中點(diǎn)，可知BE=CE，利用SAS可證△ABE≌△DCE；
（2）連接OC，由于CD是切線，可知∠OCD=90°，而∠A=30°，利用圓周角定理可知∠COD=60°，進(jìn)而可知∠D=30，利用30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可得OC：OD=1：2，即可得關(guān)于OB的方程，解即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠B=∠C，
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=EC，
∴△ABE≌△DCE；

（2）解：連接OC，
∵DC切⊙O于點(diǎn)C，
∴∠OCD=90°，
又∵∠A=30°，
∴∠COD=60°，
∴∠D=30°，
∴

OC

OB+BD

=

OB

OB+10

=

1

2

，
解得OB=10，
即⊙O的半徑為10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、含有30°角的直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理，解題的關(guān)鍵是求出∠D=30°．