探究題．
（1）計算下列各題：
①（x-1）（x+1）；
②（x-1）（x2+x+1）；
③（x-1）（x3+x2+x+1）；
④（x-1）（x4+x3+x2+x+1）；
…
（2）猜想：（x-1）（xn+xn-1+xn-2+…+x+1）的結果是什么？
（3）證明你的猜想是否正確．

解：
（1）①（x-1）（x+1）=x2-1；
②（x-1）（x2+x+1）=x3-1；
③（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1；
④（x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1．

（2）（x-1）（xn+xn-1+xn-2+…+x+1）=xn+1-1．

（3）原式=xn+1+xn+xn-1+…+x2+x-xn-xn-1-…-x-1=xn+1-1．
分析：可以用多項式乘以多項式驗證想法，得出
（1）中答案；
（2）根據(jù)規(guī)律猜想出結果為xn+1-1；
（3）利用多項式乘以多項式的方法進行計算，展開后可知中間的項會相互抵消，只剩下第一項和最后一項．
點評：本題是個閱讀材料題，要會從所給出的數(shù)列中找到它們的規(guī)律．主要考查了學生的歸納總結能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

探究題：可直接寫結果
觀察下列式子：（x2-1）÷（x-1）=x+1；
（x3-1）÷（x-1）=x2+x+1；
（x4-1）÷（x-1）=x3+x2+x+1
（x5-1）÷（x-1）=x4+x3+x2+x+1
（1）你能得到一般情況下（xn-1）÷（x-1）的結果嗎？（n為正整數(shù)）
（2）根據(jù)（1）的結果計算：1+2+22+23+24+…+262+263．

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科目：初中數(shù)學 來源：數(shù)學教研室 題型：044

下面的問題形式上比較復雜，但若能把握問題的關鍵，找準解決問題的切入點，問題的解法還是比較簡單的。請你探究一下計算下面的題，結果是2004，想好了，方法非常簡單.

 

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科目：初中數(shù)學 來源：2013年河北市高級中等學校招生考試數(shù)學 題型：044

一透明的敞口正方體容器ABCD－裝有一些液體，棱AB始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為α(∠CBE＝α，如圖①所示)．

探究如圖①，液面剛好過棱CD，并與棱B交于點Q，此時液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如圖②所示．解決問題：

(1)CQ與BE的位置關系是________，BQ的長是________dm；

(2)求液體的體積；(參考算法：直棱柱體積V液＝底面積SBCQ×高AB)

(3)求α的度數(shù)．(注：sin49°＝cos41°＝，tan37°＝)

拓展在圖①的基礎上，以棱AB為軸將容器向左或向右旋轉，但不能使液體溢出，圖③或圖④是其正面示意圖．若液面與棱C或CB交于點P，設PC＝x，BQ＝y．分別就圖③和圖④求y與x的函數(shù)關系式，并寫出相應的α的范圍．

[溫馨提示：下頁還有題！]

延伸在圖④的基礎上，于容器底部正中間位置，嵌入一平行于側面的長方形隔板(厚度忽略不計)，得到圖⑤，隔板高NM＝1 dm，BM＝CM，NM⊥BC．繼續(xù)向右緩慢旋轉，當α＝60°時，通過計算，判斷溢出容器的液體能否達到4 dm3．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

探究題：可直接寫結果
觀察下列式子：（x2-1）÷（x-1）=x+1；
（x3-1）÷（x-1）=x2+x+1；
（x4-1）÷（x-1）=x3+x2+x+1
（x5-1）÷（x-1）=x4+x3+x2+x+1
（1）你能得到一般情況下（xn-1）÷（x-1）的結果嗎？（n為正整數(shù)）
（2）根據(jù)（1）的結果計算：1+2+22+23+24+…+262+263．

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