Question

如圖，在第二象限內作射線OC，與x軸的夾角為60°，在射線OC上取一點A，過點A作AH⊥x軸于點H，在拋物線y=x²（x＜0）上取一點P，在y軸上取一點Q，使得以P、O、Q為頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A的坐標是

（-

3

，3）；或（-

1

3

，

3

3

）或（-

2

3

，

2 3

3

）或（-2，2

3

）

．

Answer 1

分析：此題應分四種情況考慮：
①∠POQ=∠OAH=30°，此時A、P重合，可聯(lián)立直線OA和拋物線的解析式，即可得A點坐標；
②∠POQ=∠AOH=60°，此時∠POH=30°，即直線y=-

3

3

x，聯(lián)立拋物線的解析式可得P點坐標，進而可求出OQ、PQ的長，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到點A的坐標．
③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°時，此時△QOP≌△AOH；
④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此時△OQP≌△AOH；

解答：解：①當∠POQ=∠OAH=30°，若以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH=60°，
所以直線y=-

3

x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：

y=- 3 x y=x2

解得

x=0 y=0

或

x=- 3 y=3

故A（-

3

，3）；
②當∠POQ=∠AOH=60°，此時△POQ≌△AOH；
易知∠POH=30°，則直線y=-

3

3

x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：

y=- 3 3 x y=x2

，
解得

x=0 y=0

或；

x=- 3 3 y= 1 3

故P（-

3

3

，

1

3

），那么A（-

1

3

，

3

3

）；
③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°時，此時△QOP≌△AOH；
易知∠POH=30°，則直線y=-

3

3

x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：

y=- 3 3 x y=x2

，
解得

x=0 y=0

或

x=- 3 3 y= 1 3

；
故P（-

3

3

，

1

3

），
∴OP=

2

3

，QP=

2 3

3

，
∴OH=OP=

2

3

，AH=QP=

2 3

3

，
故A（-

2

3

，

2 3

3

）；
④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此時△OQP≌△AOH；
此時直線y=-

3

x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：

y=- 3 x y=x2

解得

x=0 y=0

或

x=- 3 y=3

．
∴P（-

3

，3）；
∴QP=2，OP=2

3

，
∴OH=QP=2，AH=OP=2

3

，
故A（-2，2

3

）．
綜上可知：符合條件的點A有四個，則符合條件的點A的坐標是（-

3

，3）；或（-

1

3

，

3

3

）或（-

2

3

，

2 3

3

）或（-2，2

3

）．
故答案為：（-

3

，3）；或（-

1

3

，

3

3

）或（-

2

3

，

2 3

3

）或（-2，2

3

）

點評：此題主要考查的是全等三角形的判定和性質以及函數(shù)圖象交點坐標的求法；由于全等三角形的對應頂點不明確，因此要注意分類討論思想的運用．