Question

12．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明提出這樣一個(gè)問題：∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，如圖，則下列說法正確的有（　　）個(gè)．
（1）AE平分∠DAB；（2）△EBA≌△DCE；（3）AB+CD=AD；（4）AE⊥DE；（5）AB∥CD．

• A． 2個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 4個(gè)
• D． 5個(gè)

Answer 1

分析 取AD的中點(diǎn)F，連接EF．根據(jù)平行線的性質(zhì)可證得（1）（4）（5），根據(jù)梯形中位線定理可證得（3）正確．根據(jù)全等三角形全等的判定可證得（2）的正誤，即可得解．

解答 解：如圖：取AD的中點(diǎn)F，連接EF．
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD；[結(jié)論（5）]
∵E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，
∴EF∥AB∥CD，2EF=AB+CD（梯形中位線定理）①；
∴∠CDE=∠DEF（兩直線平等，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠FDE=∠DEF，
∴DF=EF；
∵F是AD的中點(diǎn)，∴DF=AF，
∴AF=DF=EF②，
由①得AF+DF=AB+CD，即AD=AB+CD；[結(jié)論（3）]
由②得∠FAE=∠FEA，
由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA，
∴∠FAE=∠EAB，即EA平分∠DAB；[結(jié)論（1）]
由結(jié)論（1）和DE平分∠ADC，且DC∥AB，可得∠EDA+∠DAE=90°，則∠DEA=90°，即AE⊥DE；[結(jié)論（4）]．
由以上結(jié)論及三角形全等的判定方法，無法證明△EBA≌△DCE．
正確的結(jié)論有4個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的判定及性質(zhì)、梯形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，是一道難度較大的綜合題型．