Question

如圖，已知正方形ABCD，點E是邊AB的中點，點O是線段AE上的一個動點（不與A、E重合），以O為圓心，OB為半徑的圓與邊AD相交于點M，過點M作⊙O的切線交DC于點N，連接OM、ON、BM、BN．記△MNO、△AOM、△DMN的面積分別為S₁、S₂、S₃，則下列結論不一定成立的是（　　）

A．S₁＞S₂+S₃              B．                             △AOM∽△DMN        C． ∠MBN=45°     D． MN=AM+CN

Answer 1

A解：（1）如圖，作MP∥AO交ON于點P，

∵點O是線段AE上的一個動點，當AM=MD時，S_梯形ONDA=（OA+DN）•AD

S_△MNO=MP•AD，∵（OA+DN）=MP，∴S_△MNO=S_梯形ONDA，∴S₁=S₂+S₃，

∴不一定有S₁＞S₂+S₃，

（2）∵MN是⊙O的切線，∴OM⊥MN，

又∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°，∴∠AOM=∠DMN，

在△AMO和△DMN中，，∴△AMO∽△DMN．故B成立，

（3）如圖，作BP⊥MN于點P，

∵MN，BC是⊙O的切線，∴∠PMB=∠MOB，∠CBM=∠MOB，

∵AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB，∴∠AMB=∠PMB，

在Rt△MAB和Rt△MPB中，∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）

∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，

在Rt△BPN和Rt△BCN中，∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）

∴PN=CN，∠PBN=∠CBN，∴∠MBN=∠MBP+∠PBN，

MN=MN+PN=AM+CN．故C，D成立，綜上所述，A不一定成立，故選：A．