Question

16．如圖，已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是3和4，點(diǎn)M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線上的一點(diǎn)，則PM+PN的最小值是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 作M關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時(shí)MP+NP的值最小，連接AC，求出CP、PB，根據(jù)勾股定理求出BC長(zhǎng)，證出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．

解答 解：作M關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時(shí)MP+NP的值最小，連接AC，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵M(jìn)Q⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，
∴Q為AB中點(diǎn)，
∵N為CD中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四邊形BQNC是平行四邊形，
∴NQ=BC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CP=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，BP=$\frac{1}{2}$BD=2，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{C{P}^{2}+B{P}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
即NQ=$\frac{5}{2}$，
∴MP+NP=QP+NP=QN=$\frac{5}{2}$，
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)找出P的位置．