Question

某賓館有若干間住房，住宿記錄提供了如下信息：
（1）4月17日全部住滿，一天住宿費(fèi)收入為12000元；
（2）4月18日有20間房空著，一天住宿費(fèi)收入為9600元；
（3）該賓館每間房每天收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)相同．
①一個分式方程，求解該賓館共有多少間住房，每間住房每天收費(fèi)多少元？
②通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每間住房每天的定價每增加10元，就會有5個房間空閑；己知該賓館空閑房間每天每間支出費(fèi)用10元，有顧客居住房間每天每間支出費(fèi)用20元，問房價定為多少元時，該賓館一天的利潤為11000元？（利潤=住宿費(fèi)收入-支出費(fèi)用）
③在（2）的計算基礎(chǔ)上，你能發(fā)現(xiàn)房價定為多少元時，該賓館一天的利潤最大？請直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析：①設(shè)每間住房每天收費(fèi)x元，由信息（1）可知該賓館共有住房

12000

x

間，由信息（2）可知該賓館有顧客居住的房間

9600

x

間，根據(jù)該賓館的住房間數(shù)不變列出分式方程，求解即可；
②根據(jù)利潤的計算方法，設(shè)每間房的房價為y元，分別表示每間利潤和住房間數(shù)及支出費(fèi)用，根據(jù)該賓館一天的利潤為11000元得方程求解；
③設(shè)房價定為每間a元時，該賓館一天的利潤為w元，根據(jù)利潤的計算方法，列出w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答：解：①設(shè)每間住房每天收費(fèi)x元，根據(jù)題意，得

12000

x

=

9600

x

+20，
解得x=120，
經(jīng)經(jīng)驗，x=120是原方程的根．
12000÷120=100．
答：該賓館共有100間住房，每間住房每天收費(fèi)120元；

②設(shè)每間房的房價為y元，根據(jù)題意，得
（y-20）（100-

y-120

10

×5）-10×

y-120

10

×5=11000，
解得：y₁=160，y₂=170．
答：房價定為160元或170元時，該賓館一天的利潤為11000元；

③設(shè)房價定為每間a元時，該賓館一天的利潤為w元，根據(jù)題意，得
w=（a-20）（100-

a-120

10

×5）-10×

a-120

10

×5
=-

1

2

a²+165a-2600
=-

1

2

（a-165）²+11012.5，
∴當(dāng)房價定為165元時，該賓館一天的利潤最大，為11012.5元．

點(diǎn)評：本題考查了分式方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，運(yùn)用二次函數(shù)知識求最值問題，常常用公式法或配方法求解．