Question

12．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、點(diǎn)C（0，-4），點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于這條拋物線的對稱軸對稱．
（1）用配方法求這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）聯(lián)結(jié)AC、BC，求∠ACB的正弦值；
（3）點(diǎn)P是這條拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0）．過點(diǎn)P作y軸的垂線PQ，垂足為Q．如果∠QPO=∠BCO，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)函數(shù)值相等兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得BH的長，根據(jù)勾股定理，可得BC的長，根據(jù)銳角三角的正弦函數(shù)等于對邊比斜邊；
（3）根據(jù)相等角的正切值相等，可得P點(diǎn)縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，可得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×{4}^{2}+4b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x-4，
配方得y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{9}{2}$，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-$\frac{9}{2}$）；
（2）作BH⊥AC于H點(diǎn)，如圖1，
拋物線的對稱軸為x=1，
A到對稱軸的距離是4-1=3，
B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1-3=-2，B（-2，0），
AB=4-（-2）=6．
由OA=OC=4，得∠OAC=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，BH=AH=3$\sqrt{2}$，
又BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
在Rt△BCH中，sin∠ACB=$\frac{BH}{BC}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$；
（3）如圖2，
Rt△BOC中，tan∠BCO=$\frac{BO}{OC}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
故Rt△OPQ中，tan∠QPO=$\frac{OQ}{PQ}$=$\frac{|{y}_{P}|}{|{x}_{P}|}$=$\frac{1}{2}$，
①設(shè)P（m，$\frac{1}{2}$m），將P點(diǎn)代入拋物線的解析式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$x²-x-4，得
$\frac{1}{2}$m²-m-4=$\frac{1}{2}$m．
解得m=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，m=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$（不符合題意，舍）；
②設(shè)P（m，-$\frac{1}{2}$m），將P點(diǎn)代入拋物線的解析式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$x²-x-4，得
$\frac{1}{2}$m²-m-4=-$\frac{1}{2}$m．
解得m=$\frac{1+\sqrt{33}}{2}$，m=$\frac{1-\sqrt{33}}{2}$（不符合題意，舍），
綜上所述：m₂=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，m₁=$\frac{1+\sqrt{33}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用配方法是求頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)鍵；利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出BH的長是解題關(guān)鍵；利用相等角的正切值相等得出P點(diǎn)縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．