Question

在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：DE是⊙O切線； 
（2）若AE=1，BD=2

5

，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可；
（2）連接AD，根據(jù)AB是直徑，得到∠ADB=90°，利用AB=AC得到∠BAD=∠CAD，從而得到△DAE∽△BAD，利用對(duì)應(yīng)邊的比相等得到AD²=AB，然后在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得到AB²=AD²+BD²，從而得到AB²=AB+（2

5

）2，解方程即可．

解答：（1）證明：連接OD；
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠DEC；
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：連接AD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴△DAE∽△BAD，
∴

AE

AD

=

AD

AB

∴AD²=AB•AE
∵AE=1，
∴AD²=AB，
在Rt△ABD中，
AB²=AD²+BD²，
∵BD=2

5

，
∴AB²=AB+（2

5

）²，
解得：AB=5或-4（舍去）
∴AB的長(zhǎng)為5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．