Question

平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²-4ax+4a+c與x軸交于點A、點B，與y軸的正半軸交于點C，點 A的坐標為（1，0），OB=OC，拋物線的頂點為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的對稱軸上的點P滿足∠APB=∠ACB，求點P的坐標；
（3）在（1）的條件下，對于實數(shù)c、d，我們可用min{ c，d }表示c、d兩數(shù)中較小的數(shù)，如min{3，-1}=-1．若關(guān)于x的函數(shù)y=min{ax²-4ax+4a+c，m（x-t）²-1（m＞0）}的圖象關(guān)于直線x=3對稱，試討論其與動直線交點的個數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵y=ax²-4ax+4a+c=a（x-2）²+c，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2．
∵拋物線y=ax²-4ax+4a+c與x軸交于
點A、點B，點A的坐標為（1，0），
∴點B的坐標為（3，0），OB=3．
可得該拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-3）．
∵OB=OC，拋物線與y軸的正半軸交于點C，
∴OC=3，點C的坐標為（0，3）．
將點C的坐標代入該解析式，解得a=1．
∴此拋物線的解析式為：y=x²-4x+3；


（2）作△ABC的外接圓⊙E，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為點F，設(shè)⊙E與拋物線的對稱軸位于x軸上方的部分的交點

為點P₁，點P₁關(guān)于x軸的對稱點為點P₂，點P₁，點P₂，均為所求的點，如圖1所示：

可知圓心E必在AB邊的垂直平分線上即拋物線的對稱軸直線x=2上，

∵∠AP₁B、∠ACB都是所對的圓周角，
∴∠AP₁B=∠ACB，且射線FE上的其它點P都不滿足∠APB=∠ACB，

由（1）可知∠OBC=45°，AB=2，OF=2，

可得圓心E也在BC邊的垂直平分線上即直線y=x上，

∴點E的坐標為：E（2，2），

由勾股定理可得出：EA=，

∴EP₁=EA=，

∴點P₁的坐標為：P₁（2，2+），

由對稱性得點P₂的坐標為：P₂（2，-2-），

∴符合題意的點P坐標為：P₁（2，2+），P₂（2，-2-）；



（3）如圖2，由題意可知，原二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x+3可得，所求得的函數(shù)的解析式為：

由函數(shù)圖象可知：當y₁=x+n與y=（x-4）²-1有一個交點時，

x+n=（x-4）²-1，

整理得出：x²-x+15-n=0，
則b²-4ac=-4（15-n）=0，
解得：n=-，

∴當時，動直線與函數(shù)圖象無交點；
當時，動直線與函數(shù)圖象有唯一的一個交點；

當y₁=x+n與y=（x-2）²-1有一個交點時，

x+n=（x-2）²-1，

整理得出：x²-x+3-n=0，
則b²-4ac=-4（3-n）=0，
解得：n=-，

∴當時，動直線與函數(shù)圖象有兩個交點；
當時，動直線與函數(shù)圖象有三個交點；

當y₁=x+n過點B時，

×3+n=0，

解得：n=-，

∴當時，動直線與函數(shù)圖象有四個交點；
當時，動直線與函數(shù)圖象有三個交點；
當時，動直線與函數(shù)圖象有三個交點．
分析：（1）首先求出拋物線的對稱軸，進而根據(jù)A點坐標得出B點坐標以及OB長度，利用OB=OC得出C點坐標，即可得出a的值；
（2）作△ABC的外接圓⊙E，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為點F，設(shè)⊙E與拋物線的對稱軸位于x軸上方的部分的交點
為點P₁，點P₁關(guān)于x軸的對稱點為點P₂，點P₁，點P₂，均為所求的點；
（3）由題意可知，原二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x+3可得，所求得的函數(shù)的解析式為：，進而利用圖象交點個數(shù)與b²-4ac的關(guān)系求出n的值．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及一元二次方程根的判別式和圓周角定理等知識，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論的思想得出是解題關(guān)鍵．