Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，1），B點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，且∠ABO=45°，將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使A點(diǎn)到達(dá)A′點(diǎn)，B點(diǎn)到達(dá)B′點(diǎn)．
（1）求A′，B′兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)B，B′，A′三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）以原點(diǎn)O為位似中心把線段AB放大（或縮小），使經(jīng)過(guò)位似變換后的點(diǎn)A落在（2）中的拋物線上，求變換后的線段的長(zhǎng)；
（4）若點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一點(diǎn)，Q是y軸上一點(diǎn)，且△B′PQ∽△OA′B′，請(qǐng)求出P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，1），∠ABO=45°，B點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上可求出B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)不變性，可求出A′、B′兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）已知A′、B′、B三點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出二次函數(shù)的一般式，利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）根據(jù)位似變換的定義，設(shè)出變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線，求出位似變換后的坐標(biāo)即可計(jì)算．
（4）設(shè)出所求點(diǎn)的橫坐標(biāo)，便可根據(jù)二次函數(shù)解析式用橫坐標(biāo)表示出縱作標(biāo)，再利用相似三角形的性質(zhì)解答．
解答：解：（1）如圖，根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)不變性，AN=A′U=1，AQ=A′M=2，OB=OB′，
所以A′（1，2），
又因?yàn)椤螦BO=45°，
所以BN=AN=1，
于是OB=2+1=3．
則得B′（0，3）．

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
將B（3，0），B′（0，3），A′（1，2）代入解析式
得：，
解得a=-，b=-，c=3，
∴解析式為y=-x²-x+3；

（3）可設(shè)位似變換后的點(diǎn)A″的坐標(biāo)為（-2k，k）或者（2k，-k），
代入拋物線解析式y(tǒng)=-x²-x+3中，
求得k=±，
∴A″B″=|y_A|=k=×=，
所以變換后的線段長(zhǎng)為；

（4）∵△B′PQ∽△OA′B′，
∴∠OB′A′=∠B′QP=45°．
作PE⊥EQ．設(shè)P（m，-m²-m+3），則Q（0，-m²-m+3）．
∵△B′PQ∽△OA′B′，
∴=，
∴得方程=，
解得m₁=0（舍去），m₂=3．
∴P（3，-3），Q（0，-6）．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，考查了旋轉(zhuǎn)變換、位似變換、相似三角形的性質(zhì)、利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等概念，思維跳躍很大，需要同學(xué)們有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)．