Question

8．已知：如圖，點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-4），點(diǎn)B為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以線段AB為邊作正方形ABCD（按逆時(shí)針?lè)较驑?biāo)記），正方形ABCD隨著點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)會(huì)出現(xiàn)三種不同圖形．點(diǎn)E為y軸的正半軸與正方形ABCD某一邊的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，0），線段OE的長(zhǎng)度為m．
（1）請(qǐng)分別填寫圖1、2、3中t的取值范圍：
圖1（t≤0）  圖2（0＜t≤4）  圖3（t＞4）；
（2）當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，3）；（直接填寫答案，不要寫計(jì)算過(guò)程）
（3）當(dāng)t＞0時(shí)，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）是否存在t，使點(diǎn)M（-2，2）落在正方形ABCD的邊上？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖中B的位置以及AO的長(zhǎng)度可確定答案；
（2）由點(diǎn)C向x軸作垂線，構(gòu)造△BFC≌△AOB，從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）分0＜t≤4和t＞4兩種情況討論，當(dāng)0＜t≤4時(shí)，證明△AOB∽△BOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{AO}{BO}$=$\frac{OB}{OE}$，進(jìn)而可得m=$\frac{1}{4}{t}^{2}$；
當(dāng)t＞4時(shí)，證明△AOB∽△EDA，根據(jù)的性質(zhì)可得$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BO}{AD}$，進(jìn)而可得答案；
（4）分t＜0，0＜t≤4和t＞4三種情況討論，結(jié)合圖形進(jìn)行解答．

解答 解：（1）圖1（t≤0）圖2（0＜t≤4）圖3（t＞4），
故答案為：t≤0；0＜t≤4；t＞4；

（2）由點(diǎn)C向x軸作垂線，垂足為F，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=AB，∠CBF+∠ABO=90°，
∵∠CBO+∠FCO=90°，
∴∠FCB=∠ABO，
在△CBF和△ABO中$\left\{\begin{array}{l}{∠OBA=∠FCB}\\{∠CFB=∠AOB=90°}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BFC，
∴CF=BO=3，BF=OA=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，3），
故答案為：（-1，3）；

（3）當(dāng)0＜t≤4時(shí)，CB與y軸交于點(diǎn)E，
∵∠OBE+∠OBA=90°，∠OBE+∠OEB=90°，
∴∠OEB=∠OBA，
∵∠AOB=∠BOE=90°，
∴△AOB∽△BOE，
∴$\frac{AO}{BO}$=$\frac{OB}{OE}$，
∴m=$\frac{1}{4}{t}^{2}$；
當(dāng)t＞4時(shí)，CD與y軸交于點(diǎn)E，
∵∠OAB+∠EAD=90°，∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠OAB=∠DEA，
又∵∠AOB=∠ADE=90°，
∴△AOB∽△EDA，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BO}{AD}$，其中AB=AD=$\sqrt{16+{t}^{2}}$，AE=m+4，OB=t，
∴m=t+$\frac{16}{t}$-4；
故m=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{t}^{2}（0＜t＜4）}\\{t+\frac{16}{t}-4（t＞4）}\end{array}\right.$；

（4）存在，
①當(dāng)t≤0時(shí)，
∵正方形ABCD位于x軸的下方（含x軸）
∴此時(shí)不存在，
②當(dāng)0＜t≤4時(shí)，
當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時(shí)，t=2，或t=-4（舍），
當(dāng)點(diǎn)M在CD邊上時(shí)，t=2，或t=4，
③當(dāng)t＞4時(shí)，
當(dāng)點(diǎn)M在CD邊上時(shí)，t=2（舍）；t=4（舍），
當(dāng)點(diǎn)M在AD邊上時(shí)，t=12，
綜上所述：存在，符合條件的t的值為2、4、12．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．搞清楚B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)y軸與正方形邊長(zhǎng)的位置關(guān)系，及正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．