Question

在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊含30°的直角三角板ABC放在第二象限，30°角所對(duì)的直角邊AC斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)C（-

3

，0），如圖所示，拋物線(xiàn)y=ax²+3

3

ax-3a（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．
（1）寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)與拋物線(xiàn)的解析式；
（2）在拋物線(xiàn)上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的含30°角的直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)與交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D，交y軸的正半軸于點(diǎn)E，求△DOE面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D；根據(jù)角的互余的關(guān)系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標(biāo)；根據(jù)拋物線(xiàn)過(guò)B點(diǎn)的坐標(biāo)，可得a的值，進(jìn)而可得其解析式；
（2）首先假設(shè)存在，分A、C是直角頂點(diǎn)兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案．
（3）求S的表達(dá)式，首先要求出三角形的點(diǎn)和高，由已知條件求出三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求三角形的底和高，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最值．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，
∵點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)C（-

3

，0），
∴OA=3，OC=

3

，
在直角三角形AOC中，AC=2

3

，
∵在直角三角形ABC中，∠ABC=30°，
∴BC=tan60°×AC=

3

×2

3

=6，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，
∴△BCD∽△CAO，
∴

BD

OC

=

BC

AC

，
∴BD=

6

2 3

×

3

=3，
∴AB∥x軸
在直角三角形BDC中，根據(jù)勾股定理求得：
DC=3

3

，
∴OD=OC+DC=

3

+3

3

=4

3

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4

3

，3）；
把點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4

3

，3）代入y=ax²+3

3

ax-3a（a≠0）
解得：a=

1

3

，
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=

1

3

x²+

3

x-1．
設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為：y=kx+b，把B（-4

3

，3），C（-

3

，0）代入得；
k=-

3

3

，b=-1，
∴直線(xiàn)BC的解析式為y=-

3

3

x-1，

（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的含30°角的直角三角形：
①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；
則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P₁，使得P₁C=BC，得到直角三角形△ACP₁，
過(guò)點(diǎn)P₁作P₁M⊥x軸，
∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCD，∠P₁MC=∠BDC=90°，
∴△MP₁C≌△DBC．
∴CM=CD=3

3

，P₁M=BD=3，可求得點(diǎn)P₁（2

3

，-3）；
②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；
則過(guò)點(diǎn)A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=BC，得到直角三角形△ACP₂，
過(guò)點(diǎn)P₂作P₂N⊥y軸，同理可證△AP₂N≌△CBD，
∴NP₂=DC=3

3

，AN=BD=3，可求得點(diǎn)P₂（3

3

，0），
③延長(zhǎng)BC交y軸于P₃構(gòu)成Rt△ACP₃，
∵AB∥x軸，
∴∠CAP₃=30°，
∴Rt△ACP₃是含有30°角的直角三角形，
∴與y軸的交點(diǎn)為P₃（0，-1）
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P₁（2

3

，-3）與點(diǎn)P₂（3

3

，0）都不在拋物線(xiàn)y=

1

3

x²+

3

x-1上，P₃在拋物線(xiàn)y=

1

3

x²+

3

x-1上
∴在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的含30°角的直角三角形．

（3）設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，b），
∴直線(xiàn)DE的解析式為y=kx+b，
∵B點(diǎn)的坐標(biāo)（-4

3

，3），代入得3=-4

3

k+b，
∴k=

b-3

4 3

，
∴直線(xiàn)DE的解析式為y=

b-3

4 3

x+b，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

4 3 b

b-3

，0）
∴S_△DOE=

1

2

OD×OE=

1

2

×

4 3 b

b-3

×b=

2 3 b2

b-3

=2

3

×

b2

b-3

=2

3

×

(b-3)2+6(b-3)+9

b-3

=2

3

[（b-3）+

9

b-3

]+12

3

∴當(dāng)b-3=

9

b-3

時(shí)，即b=6，S_△DOE有最小值，
∴△DOE面積的最小值為24

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，能力要求極高．考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．