Question

1．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=10，D是AB中點，
（1）如圖1，寫出線段CD線段AB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）如圖2，點E、F分別是邊AC、BC上的動點（不與端點重合），并且始終有AE=CF，連接EF
①畫出符合題意的一個圖形；
②判斷△DEF形狀，并說明理由；
③S_{四邊形ECFD}面積是否變化？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出CD=BD，AD=CD，由此可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)題意畫出圖形即可；
②連接CD，由SAS定理可證△CDF和△ADE全等，從而可證∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；
③由割補法可知，四邊形ECFD的面積保持不變．

解答 解：（1）CD=$\frac{1}{2}$AB．
∵在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=10，
∴∠A=∠C=45°．
∵D是AB中點，
∴AD=BD，CD⊥AB，
∴∠BCD=∠B=45°，∠A=∠°，
∴CD=BD，AD=CD，即CD=$\frac{1}{2}$AB；

（2）①如圖所示；
②連接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}CD=AD\\∠DCB=∠A\\ AE=CF\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形；
③不變．
分別過點D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于點M，N，
∵∠ACB=90°，BC=AC=10，
∴AC=BC=5$\sqrt{2}$．
∵D是AB中點，
∴CM=AM=CN=BN=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴S_{正方形CMDN}=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$•$\frac{5\sqrt{2}}{2}$=$\frac{25}{2}$．
在Rt△DEM與Rt△DFN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}DE=DF\\ DM=DN\end{array}\right.$，
∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），
∴四邊形ECFD的面積等于正方形CMDN面積，即S_{四邊形ECFD}=$\frac{25}{2}$．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)以及勾股定理等知識．