Question

（2010•溫州）如圖，在正方形ABCD中，AB=4，O為對角線BD的中點，分別以OB，OD為直徑作⊙O₁，⊙O₂．
（1）求⊙O₁的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正方形的性質根據勾股定理可得半徑．
（2）連接0₁E，從圖中看出陰影部分的面積等于4倍的扇形面積減三角形面積，依面積公式計算即可．
解答：解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD=4，∠A=90°，
∴BD==4
∴OO₁=BD=
∴⊙O₁的半徑=．

（2）設線段AB與圓O1的另一個交點是E，連接0₁E
∵BD為正方形ABCD的對角線
∴∠ABO=45°
∵O₁E=O₁B
∴∠BEO₁=∠EBO₁=45°
∴∠BO₁E=90°
∴S₁=S_扇形O1BE-S_△O1BE==-1
根據圖形的對稱性得：S₁=S₂=S₃=S₄
∴S_扇形=4S₁=2π-4．
點評：本題綜合考查了正方形的性質和勾股定理的應用及扇形的面積公式．