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11.如圖,在三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,將△ABC折疊,使點(diǎn)B落在邊AC上點(diǎn)D (不與點(diǎn)A重合)處,折痕為PQ,當(dāng)重疊部分△PQD為等腰三角形時(shí),則AD的長為2或22-2.

分析 根據(jù)等腰三角形的定義,分①PD=DQ時(shí),BP=BQ,再根據(jù)翻折變換前后的線段相等判斷出BP=BQ=PD=DQ,從而得到四邊形BQDP是菱形,根據(jù)菱形的對(duì)邊平行可得PD∥BC,BP∥DQ,然后判斷出△APD和△CDQ都是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)用AD表示出PD、CD,然后根據(jù)AC的長度列方程求解即可;②DQ=PQ時(shí),BQ=PQ,求出△BPQ是等腰直角三角形,點(diǎn)B與點(diǎn)C重合,從而得到AD=AC;③PD=PQ時(shí),PQ=BP,然后求出△BPQ是等腰直角三角形,點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,不符合題意.

解答 解:①PD=DQ時(shí),BP=BQ,
由翻折變換得,BP=PD,BQ=DQ,
所以,BP=BQ=PD=DQ,
所以,四邊形BQDP是菱形,
所以,PD∥BC,BP∥DQ,
∵∠A=90°,AB=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴△APD和△CDQ都是等腰直角三角形,
在Rt△APD中,PD=2AD,
在Rt△CDQ中,CD=DQ,
∵PD=DQ,
∴CD=2AD,
∵AC=AD+CD,
∴AD+2AD=2,
解得AD=22-2;
②DQ=PQ時(shí),BQ=PQ,
所以,∠BPQ=∠B=45°,
所以,△BPQ是等腰直角三角形,
所以,點(diǎn)B與點(diǎn)C重合,
所以,AD=AC=2;
③PD=PQ時(shí),PQ=BP,
所以,∠BQP=∠B=45°,
所以,△BPQ是等腰直角三角形,
所以,點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,
此時(shí),點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,不符合題意,舍去;
綜上所述,AD的長度為2或22-2.
故答案為:2或22-2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換的性質(zhì),菱形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),綜合題,難點(diǎn)在于分情況討論.

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