Question

1.操作：方案一：在圖(1)中，設(shè)計(jì)一個(gè)使圓錐底面最大，半圓形鐵皮得以最充分利用的方案(要求：畫示意圖)；

方案二：在圖(2)中，設(shè)計(jì)一個(gè)使圓柱兩個(gè)底面最大，半圓形鐵皮得以最充分利用的方案(要求：畫示意圖)．

2.探究：

(1)求方案一中圓錐底面的半徑；

(2)求方案二中圓錐底面及圓柱底面的半徑；

(3)設(shè)方案二中半圓圓心為O，圓柱兩個(gè)底面的圓心為O₁，O₂，圓錐底面的圓心為O₃，試判斷以O(shè)₁，O₂，O₃，O為頂點(diǎn)的四邊形是什么樣的特殊四邊形，并加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

方案一：如圖，O3是圓錐底面，O1和O2是圓柱底面． 　　方案二：如圖，O1，O2是圓柱底面，O3是圓錐底面． 　　(1)圓錐的半徑為×2×＝0.5(m)． 　　(2)如圖，連結(jié)OO1，OO2，O2O3，O1O3，O1O2，設(shè)O1與O2的半徑為y m，O3的半徑為x m． 　　∵O1和O2外切于點(diǎn)D， 　　∴OD⊥O1O2． 　　設(shè)O1切AB于點(diǎn)C，連結(jié)O1C， 　　∴O1C⊥AB， 　　∴四邊形O1COD為正方形， 　　∴OD＝y(tǒng)． 　　∴＝O1D2＋OD2， 　　∴(1－y)2＝y(tǒng)2＋y2． 　　∴y＝－1±， 　　∵y＞0， 　　∴y＝－1． 　　∴圓柱底面半徑為(－1)m． 　　∵O1O3＝O2O3，O1D＝O2D， 　　∴O3D⊥O1O2， 　　∴＝O1D2＋O3D2． 　　∴(x＋y)2＝y(tǒng)2＋(1－x－y)2． 　　∴x＝1－2y＝3－2． 　　∴圓錐底面半徑為(3－2)m． 　　(3)四邊形OO1O3O2是正方形． 　　∵由(2)知，O1O3＝x＋y＝2－，O1O＝1－y＝2－． 　　同理OO2＝O2O3＝2－， 　　即O1O＝O1O3＝O2O3＝OO2． 　　∴四邊形OO1O3O2是菱形． 　　∵OO3＝1－x＝2－2，O1O2＝2y＝2－2， 　　∴OO3＝O1O2． 　　∴四邊形OO1O3O2是正方形．