Question

17．已知△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AE與BD交于點F．
（1）如圖1．當α=90°時．求證：①△ACE≌△BCD；②AE⊥BD；
（2）如圖2．當α=60°時，直接寫出∠AFB的度數(shù)為60°；
（3）如圖3，直接寫出∠AFD的度數(shù)為180°-α  （用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)等角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AC=BC，EC=DC，于是可根據(jù)“SAS”判斷△ACE≌△BCD，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠CAE=∠CBD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；
（2）由已知條件得到∠ACE=∠BCD，推出△ACE≌△BCD（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CAE=∠CBD，推出A，B，F(xiàn)，C四點共圓，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．
（3）由已知條件得到∠ACE=∠BCD，推出△ACE≌△BCD（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CAE=∠CBD，推出A，B，F(xiàn)，C四點共圓，根據(jù)圓周角定理和平角的定義即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
又∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形
∴AC=BC，EC=DC，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠CBD，
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=90°，
∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°，
∴∠AFB=90°，
∴AE⊥BD；

（2）∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠CBD，
∴A，B，F(xiàn)，C四點共圓，
∴∠AFB=∠ACB=60°；
故答案為：60°；

（3））∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠CBD，
∴A，B，F(xiàn)，C四點共圓，
∴∠AFB=∠ACB=α，
∴∠AFD=180°-α．
故答案為：180°-α．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判斷三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應角相等，對應邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，四點共圓，等邊三角形的性質(zhì)．