Question

已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC．點P是BC的中點，M、N分別在AB、AC上．且PM⊥PN，連接MN．
（1）若M是AB中點，判斷△PMN的形狀并說明理由；
（2）若M是AB上任意一點，（1）的結論還成立么，為什么？
（3）當BM=4，CN=2時，求△PMN的面積和PM的長度．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）連接AP，可證AP=BP=CP，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半性質(zhì)即可求得PM=PB；
（2）連接AP，根據(jù)∠APC=∠EPF=90°，得出∠APE=90°-∠APF=∠BPF，再利用AP=BP，∠BAP=∠PBA=45°，即可得出△NAP≌△MBP，得出PN=PM；
（3）根據(jù)（2）中結論易證四邊形AMPN面積=

1

2

△ABC面積，即可求得△PMN的面積，根據(jù)PM=PN即可解題．

解答：解：（1）連接AP，
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點，
∴AP=BP=CP，
∵M是AB中點，
∴PM=

1

2

AB，PN=

1

2

AC，
∴PN=PM；
∴△PMN是等腰直角三角形；
（2）連接AP，則AP=PB=PC，
∵∠APC=∠APN+∠CPN=90°，∠MPN=∠MPA+∠APN=90°，
∴∠APM=∠CPN，
在△AMP和△CNP中，

∠MAP=∠NCP PA=PC ∠MAP=∠C=45°

，
∴△AMP≌△CNP（ASA），
∴MP=NP，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）∵△AMP≌△CNP，
∴AM=CN，四邊形AMPN面積=△ABP面積=

1

2

△ABC面積，
∵AB=BM+AM=BM+CN=6，
∴四邊形AMPN面積=

1

2

×

1

2

（AB•AC）=9；
∵△AMN面積=

1

2

AM•AN=4，
∴△PMN的面積=9-4=5，
∵PM=PN，∠MPN=90°，
∴

1

2

PM•PN=5，
∴PM=PN=

10

．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△AMP≌△CNP是解題的關鍵．