Question

已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，將∠MBN繞點B旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)∠MBN旋轉(zhuǎn)到（如圖1）的位置，此時∠MBN的兩邊分別交AD，DC于E，F(xiàn)，且AE=CF，求證：①BE=BF②AE+CF=EF；
（2）當(dāng)∠MBN旋轉(zhuǎn)到（如圖1）的位置，此時∠MBN的兩邊分別交AD，DC于E，F(xiàn)，且AE≠CF時，小穎猜想（1）中的AE+CF=EF仍然成立，并嘗試作出了延長DC至點K，使CK=AE，連接BK，請你證明小穎的猜想；
（3）當(dāng)∠MBN旋轉(zhuǎn)到（如圖1）的位置，此時∠MBN的兩邊分別交AD，DC于E，F(xiàn)，請你猜想線段AE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）易證△ABE≌△CBF即可證明；②根據(jù)△ABE≌△CBF可證△BEF是等邊三角形，即可解題；
（2）證明△EBF≌△KBF，即可得EF=CK+CF，可證AE+CF=EF；
（3）證明△EBF≌△KBF，即可得AE-CF=EF．

解答：解：（1）①在△ABE和△CBF中，

AB=BC ∠A=∠BCF AE=CF

，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
∴BE=BF；
②由①知△ABE≌△CBF，
∴∠ABE=∠CBF=

1

2

（∠ABC-∠MBN）=

1

2

（120°-60°）=30°．
∴AE=

1

2

BE，CF=

1

2

BF，
△BEF是等邊三角形．
∴BE=BF=EF．
∴AE+CF=

1

2

BE+

1

2

BF=EF；
（2）延長DC至K點使得CK=AE，如圖．

在△ABE和△CBK中，

AB=BC ∠A=∠BCK AE=CK

，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠KBC+∠CBE=120°，
即∠KBE=120°，
∵∠EBF=60°，
∴∠KBF=∠EBF=60°．
在△EBF和△KBF中，

BK=BE ∠KBF=∠EBF BF=BF

，
∴△EBF≌△KBF（SAS）．
∴EF=KF．
∴EF=CK+CF．
∴AE+CF=EF；
（3）如圖3，猜想AE-CF=EF．
證明如下：

在DC的延長線上取點K，
使CK=AE，連接BK．
在△ABE和△CBK中，

AB=BC ∠A=∠BCK AE=CK

，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠KBC+∠CBE=120°，
即∠KBE=120°．
∵∠EBF=60°，
∴∠KBF=∠EBF=60°．
在△EBF和△KBF中，

BE=BK ∠KBF=∠EBF BF=BF

，
∴△EBF≌△KBF（SAS），
∴EF=KF，
∴EF=CK-CF．
∴AE-CF=EF．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了等邊三角形各邊長相等的性質(zhì)．