Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作EF⊥AC于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，DE與DF有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∵AB=AC，
∴∠2=∠C，
∵OD=OB，
∴∠2=∠1，
∴∠1=∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∵點(diǎn)在⊙O上，
∴EF是⊙O的切線；

（2）解：DE與DF的數(shù)量關(guān)系是DF=2DE．連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠3=∠4=∠BAC=×60°=30°，
∵∠F=90°-∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠3=∠F，∴AD=DF，
∵∠4=30°，EF⊥AC，
∴DE=AD，
∴DF=2DE．
分析：（1）連接OD，根據(jù)題意可得出∠1=∠C，則OD∥AC，由EF⊥AC可得出結(jié)論；
（2）連接AD，由圓周角定理可得出AD⊥BC，根據(jù)已知條件可得出∠3=30°，從而得出∠3=∠F，則AD=DF，由直角三角形的性質(zhì)即可得出DF=2DE．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．