Question

如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．
（1）根據(jù)你的判斷：BD是⊙O的切線嗎？為什么？．
（2）若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，且△BEF的面積為10，cos∠BFA=

2

3

，那么，你能求出△ACF的面積嗎？若能，請你求出其面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OB，根據(jù)圓周角定理由AC是⊙O的直徑得∠ABC=90°，則∠BAC+∠C=90°，而∠BAC=∠ABO，所以∠ABO+∠C=90°，加上∠DBA=∠C，
所以∠ABO+∠DBA=90°，于是得到DB是⊙O的切線；
（2）在△ABF中，利用余弦的定義得cos∠BFA=

BF

AF

=

2

3

，再證明△EBF∽△CAF，根據(jù)相似的性質(zhì)得

S△BEF

S△ACF

=（

BF

AF

）²=

4

9

，然后把△BEF的面積=10代入計算即可．

解答：解：（1）BD是⊙O的切線．理由如下：
連接OB，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC+∠C=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠ABO，
∴∠ABO+∠C=90°，
∵∠DBA=∠C，
∴∠ABO+∠DBA=90°，
∴OB⊥BD，
∴DB是⊙O的切線；
（2）能．
在△ABF中，∠ABF=90°，
∴cos∠BFA=

BF

AF

=

2

3

，
∵∠E=∠C，∠EBC=∠CAE，
∴△EBF∽△CAF，
∴

S△BEF

S△ACF

=（

BF

AF

）²=

4

9

，
∴S_△ACF=

9

4

×10=

45

2

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．