Question

20．如圖，O是菱形ABCD的對角線的交點，BC=2OC=2，DE=1，DE∥AC，
（1）求證：四邊形OCED是矩形；
（2）求出菱形ABCD與矩形OCED的各內(nèi)角度數(shù)、對角線長、周長、面積；
（3）連結(jié)OE，OE交CD于F，求OE與CD夾角（銳角），并判斷OF與AD的關(guān)系，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先判斷出四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直求出∠COD=90°，然后根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明；
（2）利用菱形的性質(zhì)，對角線互相平分且垂直以及菱形對角線平分每組對角，再結(jié)合矩形的性質(zhì)分別得出答案；
（3）利用矩形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理求出答案．

解答 （1）證明：∵O是菱形ABCD的對角線的交點，BC=2OC=2，
∴CO=1，
又∵DE∥AC，DE=1，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
∵O是菱形ABCD的對角線的交點，
∴∠COD=90°，
∴四邊形OCED是矩形；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠COD=90°，∠ADB=∠BDC，AO=CO，BO=DO，
∵∠COD=90°，CO=$\frac{1}{2}$BC=1，則CO=$\frac{1}{2}$DC=1，
∴∠CDO=∠ADB=30°，DO=$\sqrt{3}$，
∴∠ADC=∠ABC=60°，則∠DCB=∠BAD=120°，
即菱形ABCD的對角線AC=2，BD=2$\sqrt{3}$，周長為：8，
其面積為：$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∵四邊形OCED是矩形，
∴DO=EC=$\sqrt{3}$，CO=DE=1，其內(nèi)角度數(shù)都為90°，
∴矩形OCED的周長為：2$\sqrt{3}$+2，其對角線DC=2，
矩形OCED的面積為：$\sqrt{3}$；

（3）解：FO$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，
理由：如圖所示：連接EO，交DC于點F，
∵四邊形OCED是矩形，
∴FD=FC=OF=EF，
∴FO是△DBC的中位線，
∴FO$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，
∴∠OFC=180°-∠BCF=60°．

點評 此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)以及矩形的判定等知識，正確應(yīng)用矩形的性質(zhì)得出各內(nèi)角度數(shù)是解題關(guān)鍵．