Question

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P為△ABC所在平面上一點，PA=PB，且S_△PBC=S_△ABC，求PA的長．

Answer 1

【答案】分析：利用勾股定理列式求出AB的長度，根據(jù)等底等高的三角形面積相等可得點P到BC的距離等于點A到BC的距離相等，然后分①點A、P在BC的同側(cè)時，PA∥BC，過點P作PD⊥AB于點D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得點D是AB的中點，然后求出AD的長，再利用∠PAD的余弦值列式求解即可；②點A、P在BC異側(cè)時，過點P作PD⊥AB于D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得點D是AB的中點，過點D作DE∥BC，過點P作PE⊥BC相交于點E，先求出PE的長度，再根據(jù)同角的余角相等求出∠PDE=∠BAC，然后利用∠PDE的余弦值列式求解即可得到PD，在Rt△APD中，利用勾股定理列式進行計算即可得解．
解答：解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB===10，
∵S_△PBC=S_△ABC，
∴點P到BC的距離等于AC的長度，為6，
①如圖1，點A、P在BC的同側(cè)時，∵點A、P到BC的距離相等，
∴PA∥BC，
∴∠PAD=∠ABC，
過點P作PD⊥AB于點D，
∵PA=PB，
∴AD=AB=×10=5，
∵cos∠PAD==，cos∠ABC===，
∴=，
解得PA=；
②如圖2，點A、P在BC異側(cè)時，過點P作PD⊥AB于D，
∵PA=PB，
∴AD=AB=×10=5，
過點D作DE∥BC，過點P作PE⊥BC相交于點E，
∵點D是AB的中點，
∴點E到BC的距離為AC=×6=3，
∴PE=3+6=9，
∵∠BAC+∠ADE=90°，∠ADE+∠PDE=90°，
∴∠PDE=∠BAC，
∵cos∠PDE==，cos∠BAC===，
∴=，
解得PD=，
在Rt△APD中，PA===，
綜上所述，PA的長為或．
點評：本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形的面積勾股定理，銳角三角函數(shù)，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等得到點A、P到BC的距離相等是解題的關(guān)鍵，要注意分兩種情況討論求解．