Question

18．如圖，直線l與x軸、y軸交于A、B兩點．與雙曲線y=$\frac{k}{x}$和交于C、D兩點，分別過C、D兩點作y軸，x軸的垂線，垂足為E、F．連接CF、DE．則下列結(jié)論中：
①△CEF的面積等于$\frac{k}{2}$；②EF∥AB；③△DCE≌△CDF；④AC=BD，
正確結(jié)論的序號是①②④．

Answer 1

分析 ①連接OC，如圖，運用平行等積法和反比例函數(shù)k的幾何意義即可解決問題；
②連接OD，如圖，運用平行等積法和反比例函數(shù)k的幾何意義可得S_△CEF=S_△DEF，則C、D到EF的距離相等，從而可得EF∥AB；
③只需運用反證法就可解決問題；
④易證四邊形ACEF和四邊形BEFD是平行四邊形，即可得到AC=EF=BD．

解答 解：①連接OC，如圖，
∵CE⊥y軸，AF⊥y軸，
∴CE∥AF，
∴S_△CEF=S_△CEO=$\frac{1}{2}$$|\begin{array}{l}{k}\end{array}|$．
∵k＞0，
∴S_△CEF=$\frac{k}{2}$，故①正確；
②連接OD，如圖，
∵DF⊥x軸，OE⊥x軸，
∴OE∥DF，
∴S_△DEF=S_△OFD=$\frac{1}{2}$$|\begin{array}{l}{k}\end{array}|$，
∴S_△CEF=S_△DEF，
∴CD∥EF，即EF∥AB，故②正確；
③假設(shè)△DCE≌△CDF，則∠DCE=∠CDF．
∵AF∥CE，
∴∠DAF=∠DCE，
∴∠DAF=∠CDF．
∵∠AFD=90°，
∴∠DAF=45°．
與直線l是任意一條直線矛盾，
故假設(shè)不成立，故③錯誤；
④∵EF∥CD，AF∥CE，
∴四邊形ACEF是平行四邊形，
∴AC=EF．
同理BD=EF，
∴AC=BD，故④正確．
故答案為①②④．

點評 本題主要考查了平行等積法、反比例函數(shù)k的幾何意義、反證法、平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識，在解決問題的過程中用到了平行等積法、反證法等重要的數(shù)學(xué)方法，應(yīng)熟練掌握．