Question

已知：如圖，AD⊥AB于點(diǎn)A，BC⊥AB于點(diǎn)B．E是AB上一點(diǎn)，DE⊥CE，AE=BC．EF是△DEC的中線．求證：EF是CD的垂直平分線．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：由已知條件，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，且夾邊AE=BC，利用ASA得到三角形AED與三角形BCE全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等DE=CE，利用三線合一即可得證．

解答：證明：∵AD⊥AB，BC⊥AB，DE⊥CE，
∴∠A=∠B=∠DEC=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC，
在△AED和△BCE中，

∠A=∠B=90° AE=BC ∠ADE=∠BEC

，
∴△AED≌△BCE（ASA），
∴DE=CE，
∵EF為CD上的中線，
∴EF⊥CD，
則EF是CD的垂直平分線．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．