Question

（本題8分）如圖，四邊形ABCD是矩形，直線l垂直平分線段AC，垂足為O，直線l分別與線段AD、CB的延長線交于點E、F．

（1）△ABC與△FOA相似嗎？為什么？

（2）試判定四邊形AFCE的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）△ABC∽△FOA，理由詳見解析；（2）四邊形AFCE是菱形，理由詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)垂直平分線的定義，同角的余角相等可知∠AFO=∠CAB，根據(jù)垂直的定義，矩形的性質(zhì)可知∠ABC=∠FOA，由相似三角形的判定可證△ABC與△FOA相似；

（2）先證明四邊形AFCE是平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判斷．

試題解析：（1）△ABC∽△FOA，理由如下：

因為直線l垂直平分線段AC，所以∠AFO=∠CFO，因為∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°，所以∠AFO=∠CAB，因為∠ABC=∠FOA=90°，所以△ABC∽△FOA．

（2）四邊形AFCE是菱形，理由如下：

由（1）知△ABC∽△FOA，所以∠ACB=∠FAC，因為AD∥BC，所以∠ACB=∠EAC，所以∠FAC=∠EAC，在△AOF與△AOE中，∠FAC=∠EAC，AO=AO，∠AOF=∠AOE，所以△AOF≌△AOE，所以AE=AF，OE=OF，因為AD∥BC，AD=BC，所以四邊形AFCE是平行四邊形，所以四邊形AFCE是菱形．

考點：矩形的性質(zhì)；菱形的判定；相似三角形的判定和性質(zhì)；全等三角形的判定和性質(zhì)．

考點分析： 考點1：圖形的相似 形狀相同，大小不同的兩個圖形相似 試題屬性

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