Question

7．觀察算式：$\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}+\frac{1}{143}$+…，計算該算式前n項的和為$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 觀察到每個分數(shù)分子均為1，分母是連續(xù)奇數(shù)，將第n個分數(shù)$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$拆分成$\frac{1}{2}$×$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，然后提取公因數(shù)化簡計算可得．

解答 解：原式=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}）$+$\frac{1}{2}$×$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$\frac{1}{2}×（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$\frac{1}{2}$×$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}$×（$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$，
故答案為：$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題主要考查數(shù)字的變化類，從已知分數(shù)中尋求不變的量與變化的量及如何變化是總結(jié)規(guī)律的關鍵．