Question

如圖，邊長是5的正方形ABCD內(nèi)，半徑為2的⊙M與邊DC和CB相切，⊙N與⊙M外切于點(diǎn)P，并且M與邊DA和AB相切．EF是兩圓的內(nèi)公切線，點(diǎn)E和F分別在DA和AB上．則EF的長等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相切兩圓的性質(zhì)

專題：

分析：如圖，作輔助線；證明MC=2

2

；AC=2

2

+2+2λ，此為解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論；運(yùn)用勾股定理得到（2

2

+2+2λ）²=5²×2，求得2λ=3

2

-2，證明EF=2AP，即可解決問題．

解答：解：如圖，連接AC、MG、MH；設(shè)⊙N的半徑為λ；
由題意得：點(diǎn)N、P、M均在AC上；
且MG⊥DC，MH⊥BC；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠GCH=90°，AD=CD=5，∠D=90°；而MG=MH，
∴四邊形MGCH為正方形，MG=CG=2，
由勾股定理得：MC²=2²+2²，
∴MC=2

2

；AC=2

2

+2+2λ；
由勾股定理得：（2

2

+2+2λ）²=5²×2，
解得：2λ=3

2

-2；
由題意知：∠EAP=∠FAP=45°，AP⊥EF，
∴∠AEP=∠AFP=45°，
∴EP=FP=AP，
∴EF=2AP=6

2

-4，
故答案為6

2

-4．

點(diǎn)評：該題以正方形和圓為載體，考查了相切兩圓的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握正方形、相切兩圓的性質(zhì)、勾股定理及其應(yīng)用等問題；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．