Question

26、（1）如圖（一），P是∠AOB平分線上一點，試過點P畫一條直線，交角的兩邊于點C、D，使△OCD是等腰三角形，且CD是底邊；
（2）若點P不在角平分線上，如圖（二），如何過點P畫直線與角的兩邊相交組成等腰三角形？
（3）問題（2）中能畫出幾個滿足條件的等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）過點P作OP的垂線，垂足為點P，可通過全等三角形來判定△OCD是等腰三角形；
（2）作∠AOB的角平分線，再過點這作∠AOB的角平分線的垂線PD，延長PD使于角兩邊相交，同理可利用全等三角形的判定來判定其為等腰三角形；
（3）因為過直線外一點有且只有一條垂線，所以只有一個這樣的等腰三角形．

解答：解：（1）如圖，直線CD為過點P的一條垂線且垂足為P，則△OCD是等腰三角形．
∵OP為∠AOB的角平分線
∴∠AOP=∠BOP
∵∠CPO=∠DPO=90°，OP=OP
∴△COP≌△DOP（ASA）
∴OC=OD
∴△OCD是等腰三角形．
（2）如圖，過點O作∠AOB的角平分線OD，過點P作PD⊥OD于點D，延長交OA，OB于點M，N，則△OMN為等腰三角形．
∵OD為∠AOB的角平分線
∴∠AOD=∠BOD
∵∠MPO=∠NPO=90°，OD=OD
∴△MOD≌△NOD（ASA）
∴OM=ON
∴△OMN是等腰三角形．
（3）應該可畫3個．
1、過P作∠AOB中平分線的垂直線，交OA，OB于M，N，則△OMN是等腰三角形．
2、過P作OA垂直線，交OA，OB于E，F(xiàn)，在EA上作EG=OE，連FG，過P作FG平行線，交OA，OB于M，N，則△OMN是等腰三角形．
3、過P作OB垂直線，交OA，OB于E，F(xiàn)，在FB上作FG=OF，連EG，過P作EG平行線，交OA，OB于M，N，則△OMN是等腰三角形．
所以有三個這樣的等腰三角形．

點評：此題主要考查了等腰梯形的判定及全等三角形的判定方法與性質、角平分線的性質等知識；三角形全等的證明是正確解答本題的關鍵．