Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx+b交x軸于點A，交y軸于點B，線段AB的中點E的坐標為（2，1）．
（1）求k，b的值；
（2）P為直線AB上一點，PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D，若四邊形PCOD為正方形，求點P的坐標．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）作EF⊥OA于點F，根據(jù)三角形中位線定理即可求得OA、OB的長，則A、B的坐標可求得，利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式；
（2）當四邊形PCOD為正方形時，點P一定在一、三象限的角平分線上或二、四象限的角平分線上，則P在直線y=x上或在直線y=-x上，求出與AB的交點坐標即可．

解答：解：（1）作EF⊥OA于點F．
∵E是AB的中點，
∴OB=2EF=2，OA=4，
則B的坐標是（0，2），A的坐標是（4，0），
根據(jù)題意得：

b=2 4k+b=0

，
解得：

b=2 k=- 1 2

；

（2）直線AB的解析式是：y=-

1

2

x+2，
當四邊形PCOD為正方形時，點P一定在一、三象限的角平分線上或二、四象限的角平分線上，
則P在直線y=x上或在直線y=-x上．
當P在直線y=x上時，

y=x y=- 1 2 x+2

，解得：

x= 4 3 y= 4 3

，則P的坐標是（

4

3

，

4

3

）；
當P在直線y=-x上時，

y=-x y=- 1 2 x+2

，解得：

x=-4 y=4

，則P的坐標是（-4，4）．
則P的坐標是：（

4

3

，

4

3

）或（-4，4）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及正方形的性質(zhì)，理解P在直線y=x上或在直線y=-x上是關(guān)鍵．