Question

20．如圖，在筆直的公路L的同側有A、B兩個村莊，已知A、B兩村分別到公路的距離AC=3km，BD=4km．現(xiàn)要在公路上建一個汽車站P，使該車站到A、B兩村的距離相等，
（1）試用直尺和圓規(guī)在圖中作出點P；（保留作圖痕跡）
（2）若連接AP、BP，測得∠APB=90°，求A村到車站的距離．

Answer 1

分析 （1）連接AB，作AB的垂直平分線與AB交于點P即可；
（2）先利用AAS證明△ACP≌△PDB，得出CP=BD=4km，然后在Rt△ACP中利用勾股定理求出AP²=AC²+CP²=3²+4²=25，則AP=5．

解答 解：（1）連結AB，畫出AB的垂直平分線交CD于P，
則點P即為所求的點；

（2）∵∠APB=90°，
∴∠APC+∠BPD=90°，
又∵∠APC+∠CAP=90°，
∴∠CAP=∠BPD，
又∵∠ACP=∠PDB=90°，
∵MN垂直平分AB，
∴AP=BP，
∴△ACP≌△PDB（AAS），
∴CP=BD=4km，
在Rt△ACP中，∠ACP=90°，
AP²=AC²+CP²=3²+4²=25，
∴AP=5．
答：A村到車站的距離5km．

點評 本題考查了勾股定理的應用，線段垂直平分線的判定，全等三角形的判定與性質，作線段的垂直平分線，作出點P是解題的關鍵．