Question

如圖1，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D．
（1）若∠A=40゜，則∠DBC=______；若∠A=50゜，則∠DBC=______；若∠A=α，則∠DBC=______；
（2）如圖2，猜想：∠DBC與∠BAC之間的數量關系，并予以證明．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，∠A=α，
∴∠ABC=∠C===90°-α，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD=90°-α，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=α；
當∠A=40゜時，∠DBC=20°；
當∠A=50°時，∠DBC=25°；
故答案為：20°，25°，α；

（2）∠DBC=∠BAC．
設∠C=β，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=β，
∴∠BAC=180°-2β，∠BAD=∠ABC+∠C=2β，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD=90°-2β，
∴∠DBC=90゜-β，
∴∠DBC=∠BAC．
分析：（1）由AB=AC，BD⊥AC，可求得∠ABC與∠ABD的度數，繼而求得∠DBC的度數；
（2）首先設∠C=β，由等腰三角形的性質，可求得∠BAC與∠DBC的值，繼而求得：∠DBC與∠BAC之間的數量關系．
點評：此題考查了等腰三角形的性質、三角形外角的性質以及三角形內角和定理．此題難度適中，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．