Question

5．已知在△ABC中，AB=6，AB邊上的高為4．如圖（1），在△ABC內(nèi)作正方形EFGH，且E、F在邊AB上，G、H分別在邊AC、BC上，則該正方形的邊長(zhǎng)為2.4；如圖（2），在△ABC內(nèi)作并排的兩個(gè)全等的正方形GDKH和HKEF，它們組成的矩形DEFG的頂點(diǎn)D、E在△ABC的邊AB上，G、F分別在邊AC、BC上，則每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為$\frac{12}{7}$；…如圖（3），按此方法，在△ABC內(nèi)作并排的n個(gè)全等的正方形（其中n為正整數(shù)），它們組成的最大矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的邊AB上，其它頂點(diǎn)分別在邊AC、BC上，則每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)可用含n的代數(shù)式表示為$\frac{12}{2n+3}$．

Answer 1

分析 先作輔助線，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則可以求出（1）的邊長(zhǎng)即：$\frac{x}{6}$=$\frac{4-x}{4}$，（2）的邊長(zhǎng)$\frac{2x}{6}$=$\frac{4-x}{4}$，（3）的邊長(zhǎng)$\frac{3x}{6}$=$\frac{4-x}{4}$，從中得到規(guī)律就可得到（4）的邊長(zhǎng)即$\frac{nx}{6}$=$\frac{4-x}{4}$．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)C作CM⊥AB，垂足為M，交GH于點(diǎn)N．
∴∠CMB=90°，
∵正方形EFGH，
∴GH∥AB，GH=GF，GF⊥AB，
∴∠CGH=∠A，∠CNH=∠CMB=90°．
∵∠GCH=∠ACB，
∴△CGH∽△CAB，
∴$\frac{CN}{CM}$=$\frac{GH}{AB}$，
∵GF=MN=GH，設(shè)GH=x，
∴CN=CM-MN=CM-GH=CM-x．
∵AB=6，CM=4，
∴$\frac{X}{6}$=$\frac{4-x}{4}$
解得x=2.4，
∴正方形的邊長(zhǎng)為2.4，
故答案為2.4；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，
如圖2，過(guò)C作CM⊥AB，垂足為M，交GH于點(diǎn)N．可知
△CGF∽△CAB．
∵AB=6，CM=4，
∴$\frac{2x}{6}$=$\frac{4-x}{4}$
解得：x=$\frac{12}{7}$
故正方形的邊長(zhǎng)為$\frac{12}{7}$，
故答案為$\frac{12}{7}$；

（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)，
如圖3，過(guò)C作CM⊥AB，垂足為M，交GH于點(diǎn)N．可知：AB=6，CM=4，
∴$\frac{3x}{6}$=$\frac{4-x}{4}$
解得：x=$\frac{4}{3}$
故正方形的邊長(zhǎng)為$\frac{4}{3}$；

（4）如圖4，由此，當(dāng)為n個(gè)正方形時(shí)$\frac{nx}{6}$=$\frac{4-x}{4}$，
解得x=$\frac{12}{2n+3}$．
故答案為$\frac{12}{2n+3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形的勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)熟練地掌握，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．