Question

提出問題：如圖，在“兒童節(jié)”前夕，小明和小華分別獲得一塊分布均勻且形狀為等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將自己的這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質(zhì)量都一樣）．

背景介紹：這條分割直線既平分了梯形的面積，又平分了梯形的周長，我們稱這條線為梯形的“等分積周線”．
嘗試解決：（1）小明很快就想到了一條分割直線，而且用尺規(guī)作圖作出．請你幫小明在圖1中作出這條“等分積周線”，從而平分蛋糕．
（2）小華覺得小明的方法很好，所以模仿著在自己的蛋糕（圖2）中畫了一條直線EF分別交AD、BC于點E、F．你覺得小華會成功嗎？如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由．
（3）通過上面的實踐，你一定有了更深刻的認識．若圖2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．請你找出梯形ABCD的所有“等分積周線”，并簡要的說明確定的方法．

Answer 1

分析：（1）作線段AD（或BC）的中垂線即可；
（2）根據(jù)直線平分梯形ABCD面積，則

1

2

（AE+BF）AB=

1

2

（ED+CF）AB，利用AB＜CD，即可得出能否成功；
（3）根據(jù)當直線分別交AD、AB于E、F時以及當直線分別交CD、BC于E、F時，當直線分別交AB、CD于、E、F時分別分析即可．

解答：解：（1）作線段AD（或BC）的中垂線即可；

（2）小華不會成功．直線平分梯形ABCD面積，則

1

2

（AE+BF）AB=

1

2

（ED+CF）AB，
∴AE+BF=ED+CF，
又∵AB＜CD，
∴此時AE+BF+AB＜ED+CF+CD
∴小華不可能成功；

（3）可求得：S_梯形ABCD=18，C_梯形ABCD=18，
由（2）可知直線分別交AD、BC于點E、F時不可能，只要分以下幾種情況：
①當直線分別交AD、AB于E、F時
有S_△AEF≤S_△ABD，
又∵S_△ABD=6＜9，
∴不可能
同理，當直線分別交AD、CD于E、F時S_△AEF≤S_△ACD＜9，
∴不可能
②當直線分別交AB、BC于E、F時
設(shè)BE=x，則BF=9-x
由直線平分梯形面積得：

1

2

x（9-x）=9
求得：x₁=3，x₂=6＞4（舍去）
∴BE=3
③當直線分別交CD、BC于E、F時
設(shè)CE=x，可得：S_△ECF=

1

2

×

4x

5

×（9-x）=9
2x²-18x+45=0
此方程無解，∴不可能
④當直線分別交AB、CD于、E、F時
設(shè)CF=x，可得：S_BEFC=

1

2

×（3-

x

5

）（6-

3x

5

）+

6x2

25

=9
∴x₁=0，與②同
x₂=5，BF=-2，舍去
綜上所述，符合條件的直線共有一條．

點評：此題主要考查了線段垂直平分線的作法以及平分梯形面積等知識，進行分類討論是此題的難點，應(yīng)注意正確合理的分析．