Question

10．如圖，AB為⊙O直徑，CD為弦，弦CD⊥AB于點M，F(xiàn)為DC延長線上一點，連接CE、AD、AF，AF交⊙O于E，連接ED交AB于N．
（1）求證：∠AED=∠CEF；
（2）當(dāng)∠F=45°，且BM=MN時，求證：AD=ED；
（3）在（2）的條件下，若MN=1，求FC的長．

Answer 1

分析 （1）首先連接BE，由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得∠AEB=∠BEF=90°，又由AB⊥CD于，可得：$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，繼而證得∠CMB=∠BMD，則可證得結(jié)論；
（2）連接AD，BD，根據(jù)已知條件得到∠ADE=∠ABE=∠EAB=45°，證得CD垂直平分BN，得到BD=ND，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠DBN=∠DNB，推出△AEN∽△ADE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠ANE=∠DAE，等量代換得到∠DAE=∠AED，于是得到結(jié)論；
（3）設(shè)AB=2R，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AE=BE=$\sqrt{2}$R，求得AN=AE=$\sqrt{2}$R，得到R=2+$\sqrt{2}$，解得BE=2$\sqrt{2}$+2，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）連結(jié)BE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=∠BEF=90°，
又∵AB⊥CD于M，
∴$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∴∠CEB=∠BED，
∴∠AED=∠AEB-∠BED=∠BEF-∠CEB=∠CEF，
即：∠AED=∠FEC；

（2）連接AD，BD，
∵AB為⊙O直徑，
∴AE⊥BE，
∵∠F=45°，
∴∠EHF=45°，
∴∠BHM=∠EHF=45°，
∵AB⊥CD，
∴∠EBA=45°，
∴∠EAB=45°，
∴∠ADE=∠ABE=∠EAB=45°，
∵BM=MN，
∴CD垂直平分BN，
∴BD=ND，
∴∠DBN=∠DNB，
∴∠AED=∠ABD=∠ANE=∠BND，
∵∠EAB=∠ADE=45°，
∠AEN=∠AED，
∴△AEN∽△ADE，
∴∠ANE=∠DAE，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE；

（3）由（2）知，△ABE，△EFH，△BNH是等腰直角三角形，
∵M(jìn)N=1，
∴BN=2，BH=$\sqrt{2}$，
設(shè)AB=2R，
∴AE=BE=$\sqrt{2}$R，
∵∠AEN=∠ANE，
∴AN=AE=$\sqrt{2}$R，
∴$\sqrt{2}$R+2=2R，
∴R=2+$\sqrt{2}$，
∴BE=2$\sqrt{2}$+2，
∴EF=EH=BE-BH=2+$\sqrt{2}$，
∵∠AED=∠FEC，
∵∠FCE=∠EAD，
∴∠FEC=∠FCE，
∴CF=EF=2+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，證得△ABE，△EFH，△BNH是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．