Question

已知，如圖1，拋物線y=ax²+bx過點A（6，3），且對稱軸為直線．點B為直線OA下方的拋物線上一動點，點B的橫坐標為m．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若△OAB的面積為S．求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值；
（3）如圖2，過點B作直線BC∥y軸，交線段OA于點C，在拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題知：解之，得，
∴該拋物線的解析式為：．

（2）過點B作BH∥y軸，交OA于點H，
由題知直線OA為：，
∴設點，點，∴，
∴S=S_△OBH+S_△ABH=，
=，
∴當m=3時，；


（3）存在，點B為（1+，）或（5-，），
理由如下：設在拋物線的對稱軸上存在點D滿足題意，
過點D作DQ⊥BC于點Q，
則由（2）有點，點B，
∵△BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形
∴，即是：且（0＜m＜6），
若，解之：（舍去），，
時，，
∴點B（1+，），
若，解之：（舍去），
當時，，
∴，
綜上，滿足條件的點B為（1+，）或（5-，）．
分析：（1）根據拋物線y=ax²+bx過點A（6，3），且對稱軸為直線，利用待定系數法求解即可；
（2）過點B作BH∥y軸，交OA于點H，將△OAB分成△OBH和△ABH兩部分求解；
（3）假設存在滿足題意的D點，再根據△BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形這一條件解答．
點評：本題考查了二次函數的知識，是一道綜合題，難度較大，需要對各部分知識熟練掌握并靈活應用．