Question

3．在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE，AC=CD，BC=EC，且∠B=60°，AB與DE交于點P．
（1）求證：PC平分∠EPA；
（2）探究線段PE、PB和BC的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）作CM⊥AB，CN⊥ED垂足分別為M、N，利用全等三角形面積相等，得出CM=CN，再根據(jù)角平分線的判定定理即可解決．
（2）在線段ED上截取EM=EC，連接CM，由∠ABC=∠DEC=60°確定B、E、C、P四點共圓，再證明△CPM≌△CPB得到PB=PM即可證得BC=PB+PE．

解答 （1）證明：如圖1，作CM⊥AB，CN⊥ED垂足分別為M、N．
在△ACB和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACB=∠DCE}\\{CB=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=DE，S_△ACB=S_△DCE，
∴$\frac{1}{2}$•AB•CM=$\frac{1}{2}$•DE•CN，
∴CM=CN，
∵CM⊥AB，CN⊥DE，
∴∠CPE=∠CPA．
（2）結(jié)論：BC=PB+PE，理由如下：
證明：如圖2，在線段ED上截取EM=EC，連接CM．
∵△ACB≌△DCE，
∴∠ABC=∠DEC=60°，
∴B、E、C、P四點共圓，△ECM是等邊三角形，
∴∠EBC=∠EPC，∠CMP=∠CDP=60°，EC=EM=CM=BC，
∵CB=CE，
∴∠CEB=∠CBE=∠CPE，
∵∠CPM+∠CPE=180°，∠CEB+∠CPB=180°，
∴∠CPM=∠CPB，
在△CPM和△CPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBP=∠CMP}\\{∠CPB=∠CPM}\\{CP=CP}\end{array}\right.$，
∴△CPM≌△CPB，
∴PB=PM，
∴EM=PE+PM=PE+PB，
∴BC=PE+PB．

點評 全等三角形的判定和性質(zhì)、面積法證明線段相等、四點共圓等知識，本題比較難，利用四點共圓的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．