Question

如圖，已知四邊形ABCD，AD∥BC．點P在直線CD上運動（點P和點C，D不重合，點P，A，B不在同一條直線上），若記∠DAP，∠APB，∠PBC分別為∠α，∠β，∠γ．
（1）當點P在線段CD上運動時，寫出∠α，∠β，∠γ之間的關系并說出理由；
（2）如果點P在線段CD（或DC）的延長線上運動，探究∠α，∠β，∠γ之間的關系，并選擇其中的一種情況說明理由．

Answer 1

考點：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點P作PE∥AD，如圖1，由PE∥AD得∠α=∠APE，由AD∥BC得PE∥BC，則∠γ=∠BPE，所以∠β=∠APE+∠BPE=∠α+∠γ；
（2）點P在線段CD的延長線上運動時，∠β=∠γ-∠α；點P在線段DC的延長線上運動時，∠β=∠α-∠γ．以點P在線段CD的延長線上運動為例說明：
如圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)由AD∥BC得∠PBC=∠1，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1=∠PAD+∠APB，所以∠APB=∠PBC-∠PAD，即∠β=∠γ-∠α．

解答：解：（1）∠β=∠α+∠γ．理由如下：
過點P作PE∥AD，如圖1，
∵PE∥AD，
∴∠α=∠APE，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴∠γ=∠BPE，
∴∠β=∠APE+∠BPE=∠α+∠γ；
（2）點P在線段CD的延長線上運動時，∠β=∠γ-∠α；點P在線段DC的延長線上運動時，∠β=∠α-∠γ．
以點P在線段CD的延長線上運動為例說明：
如圖2，
∵AD∥BC，
∴∠PBC=∠1，
而∠1=∠PAD+∠APB，
∴∠APB=∠PBC-∠PAD，
即∠β=∠γ-∠α．

點評：本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．