Question

如圖，已知四邊形ABCD，AD∥BC．點(diǎn)P在直線CD上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P和點(diǎn)C，D不重合，點(diǎn)P，A，B不在同一條直線上），若記∠DAP，∠APB，∠PBC分別為∠α，∠β，∠γ．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，寫出∠α，∠β，∠γ之間的關(guān)系并說出理由；
（2）如果點(diǎn)P在線段CD（或DC）的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，探究∠α，∠β，∠γ之間的關(guān)系，并選擇其中的一種情況說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點(diǎn)P作PE∥AD，如圖1，由PE∥AD得∠α=∠APE，由AD∥BC得PE∥BC，則∠γ=∠BPE，所以∠β=∠APE+∠BPE=∠α+∠γ；
（2）點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠β=∠γ-∠α；點(diǎn)P在線段DC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠β=∠α-∠γ．以點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)為例說明：
如圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)由AD∥BC得∠PBC=∠1，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1=∠PAD+∠APB，所以∠APB=∠PBC-∠PAD，即∠β=∠γ-∠α．

解答：解：（1）∠β=∠α+∠γ．理由如下：
過點(diǎn)P作PE∥AD，如圖1，
∵PE∥AD，
∴∠α=∠APE，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴∠γ=∠BPE，
∴∠β=∠APE+∠BPE=∠α+∠γ；
（2）點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠β=∠γ-∠α；點(diǎn)P在線段DC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠β=∠α-∠γ．
以點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)為例說明：
如圖2，
∵AD∥BC，
∴∠PBC=∠1，
而∠1=∠PAD+∠APB，
∴∠APB=∠PBC-∠PAD，
即∠β=∠γ-∠α．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．