Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB．DF⊥AC，垂足分別為E、F．

(1)求證：DE＝DF；

(2)只添加一個(gè)條件，使四邊形EDFA是正方形，請(qǐng)你至少寫出兩種不同的添加方法(不另添加輔助線，無需證明)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)分析一　由于DE、DF分別是△EBD和△FCD的邊，且由已知得BD＝CD，∠BED＝∠CFD＝90°，再聯(lián)想到等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，不難證明△EBD望△FCD，于是證得DE＝DF． 　　證法一　∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵DB＝DC，∴△DEB≌△DFC(AAS)∴DE＝DF． 　　分析二　由已知得DE和DF是點(diǎn)D到∠BAC的兩邊的距離，欲證DE：DF，只需證明點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，由于D是底邊BC的中點(diǎn)，所以容易由等腰三角形三線合一的性質(zhì)證得． 　　證法二　連結(jié)AD．∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，AD平分∠BAC．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF． 　　分析三　因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以△ABD和△ACD的面積相等，又AB＝AC，且DE、DF分別是△ABD和△ACD的邊AB與AC上的高，故又可以利用面積相等的關(guān)系證明． 　　 　　點(diǎn)撥　證法一是一種基本方法，也是同學(xué)們最擅長的證法，證法二利用了角平分線的性質(zhì)．顯得簡(jiǎn)潔明快．由于角平分線性質(zhì)就是利用△ADE≌△ADF證明的，因此若不用角平分線性質(zhì)，而去證明△ADE望△ADF就顯得多此一舉了．證法三則是利用面積相等證明，利用面積關(guān)系解題也是幾何中的一個(gè)重要技巧．