如圖,△OAC中,以O(shè)為圓心,OA為半徑作⊙O,作OB⊥OC交⊙O于B,垂足為O,連接AB交OC于點(diǎn)D,∠CAD=∠CDA.
(1)判斷AC與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若OA=5,OD=1,求線段AC的長(zhǎng).
(1)線段AC是⊙O的切線。理由見解析(2)12
【解析】解:(1)線段AC是⊙O的切線。理由如下:
∵∠CAD=∠CDA(已知),∠BDO=∠CDA(對(duì)頂角相等),
∴∠BDO=∠CAD(等量代換)。
又∵OA=OB(⊙O的半徑),∴∠B=∠OAB(等邊對(duì)等角)。
∵OB⊥OC(已知),∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°,即∠OAC=90°。
∴線段AC是⊙O的切線。
(2)設(shè)AC=x.
∵∠CAD=∠CDA(已知),∴DC=AC=x(等角對(duì)等邊)。
∵OA=5,OD=1,∴OC=OD+DC=1+x;
∵由(1)知,AC是⊙O的切線,
∴在Rt△OAC中,根據(jù)勾股定理得,OC2=AC2+OA2,即(1+x)2=x2+52,解得x=12。
∴AC=12.
(1)根據(jù)已知條件“∠CAD=∠CDA”、對(duì)頂角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD;然后根據(jù)等腰三角形OAB的兩個(gè)底角相等、直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)推知
∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°,即∠OAC=90°。所以線段AC是⊙O的切線。
(2)根據(jù)“等角對(duì)等邊”可以推知AC=DC,所以由圖形知OC=OD+CD;然后利用(1)中切線的性質(zhì)可以在在Rt△OAC中,根據(jù)勾股定理來(lái)求AC的長(zhǎng)度。
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如圖,△OAC中,以O(shè)為圓心,OA為半徑作⊙O,作OB⊥OC交⊙O于B,垂足為O,連接AB交OC于點(diǎn)D,∠CAD=∠CDA.
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