Question

如圖，△ABC中，AC=BC，以BC上一點O為圓心、OB為半徑作⊙O交AB于點D．已知經過點D的⊙O切線恰好經過點C．
（1）試判斷CD與AC的位置關系，并證明；
（2）若△ACB∽△CDB，且AC=3，求圓心O到直線AB的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD．易證△ABC∽△DBO，從而推出OD∥AC，得出CD⊥OD；
（2）由（1）得△ACB∽△CDB，得出∠A=∠B=∠DCB，再根據三角函數OB的值．做OE⊥DB，利用OE=OB求解．
解答：（1）解：CD與AC互相垂直．（1分）
證明：連接OD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵⊙O與直線CD相切，
∴CD⊥OD，
∴CD⊥AC；

解：（2）∵△ACB∽△CDB且AC=BC，
∴CD=DB，
∴∠A=∠B=∠DCB，
又∵∠A+∠B+∠DCB+∠ACD=180°，∠ACD=90°，
∴∠A=∠B=∠DCB=30°，
在Rt△ACD和Rt△CDO中，OD=CD•tan∠DCB，CD=AC•tan∠A，
∴OB=OD=AC•tan∠A•tan∠DCB=，
過點O作OE⊥AB于E，則OE=OB=，即圓心O到直線AB的距離為．
點評：本題考查的是圓的切線性質以及相似三角形的判定定理，難度屬中等．