Question

20．在⊙O中，⊙O的直徑為26cm，弦AB∥弦CD，AB=10cm．CD=24cm，求AB與CD間的距離．

Answer 1

分析 作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連OA，OC，由垂徑定理得AE=$\frac{1}{2}$AB=5，CF=$\frac{1}{2}$CD=12，由于AB∥CD，易得E、O、F三點(diǎn)共線，在Rt△AOE和Rt△OCF中，利用勾股定理分別計(jì)算出OE與OF，然后討論：當(dāng)圓心O在弦AB與CD之間時(shí)，AB與CD的距離=OE+OF；當(dāng)圓心O在弦A′B′與CD的外部時(shí)，AB與CD的距離=OE-OF．

解答 解：如圖作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連OA，OC，OA=OC=13，
則AE=$\frac{1}{2}$AB=5，CF=$\frac{1}{2}$CD=12，
∵AB∥CD，
∴E、O、F三點(diǎn)共線，
在Rt△COF中，OF=$\sqrt{O{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
在Rt△AOE中，OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
當(dāng)圓心O在弦AB與CD之間時(shí)，AB與CD的距離=OE+OF=12+5=17；
當(dāng)圓心O在弦A′B′與CD的外部時(shí)，AB與CD的距離=OE-OF=12-5=7．
所以AB與CD的距離是17或7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧．也考查了勾股定理以及分類討論思想的運(yùn)用．