Question

如圖①，△ABC的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)P．
（1）如果∠A=70°，求∠BPC的度數(shù)；
（2）如圖②，過P點(diǎn)作直線MN∥BC，分別交AB和AC于點(diǎn)M和N，試求∠MPB+∠NPC的度數(shù)（用含∠A的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)．
（i）當(dāng)直線MN與AB、AC的交點(diǎn)仍分別在線段AB和AC上時(shí)，如圖③，試探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由；
（ⅱ）當(dāng)直線MN與AB的交點(diǎn)仍在線段AB上，而與AC的交點(diǎn)在AC的延長線上時(shí)，如圖④，試問（i）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請說明你的理由；若不成立，請給出∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,平行線的性質(zhì),三角形的外角性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB，再根據(jù)角平分線定義得到∠BPC=180°-（

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB），再利用三角形內(nèi)角和定理得∠BPC=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，然后把∠A的度數(shù)代入計(jì)算；
（2）根據(jù)平角定義得∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC，然后根據(jù)（1）的求解；
（3）（ i）∠與（2）的說理一樣；
（ⅱ）有結(jié)論∠MPB-∠NPC=90°-

1

2

∠A．

解答：解：（1）∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB
=180°-（

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠A）
=90°+

1

2

∠A
=90°+

1

2

×70°
=125°；
（2）∵∠BPC=90°+

1

2

∠A，
∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+

1

2

∠A）=90°-

1

2

∠A；
（3）（ i）∠MPB+∠NPC=90°-

1

2

∠A．理由如下：
∵∠BPC=90°+

1

2

∠A，
∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+

1

2

∠A）
=90°-

1

2

∠A；
（ⅱ）不成立，有∠MPB-∠NPC=90°-

1

2

∠A．
理由如下：由圖可知∠MPB+∠BPC-∠NPC=180°，
由（i）知：∠BPC=90°+

1

2

∠A，
∴∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC
=180°-（90°+

1

2

∠A）
=90°-

1

2

∠A．

點(diǎn)評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了平角的定義．