Question

如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx-2交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且A（-1，0）、B（3，0）．
（1）求該拋物線的表達式及頂點D的坐標；
（2）若點M是x軸上的一個動點，設△MDC的面積為S，動點M的坐標為（1，0），令Q=S（3t-19），當1＜t＜3時，Q是否有最小值？若有，請求出Q的最小值和此時t的值；若沒有，請說明理由；
（3）在拋物線上有一個動點P，y軸上有一個動點N，使得以A、B、P、N為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）應用待定系數法把A、B點的坐標代入拋物線y=ax²+bx-2中即可解得，然后用求頂點的公式即可求得頂點坐標．
（2）用梯形的面積減去三角形的面積即可求得．
（3）依據平行四邊形的性質即可設出P的坐標為（4，n），代入拋物線的解析式即可求得．

解答：（1）把A、B點的坐標代入拋物線y=ax²+bx-2的解析式得：

0=a-b-2 0=9a+36-2

，
解得；

a= 2 3 b=- 4 3

，
∴該拋物線的表達式為：y=

2

3

x²-

4

3

x-2，
∵y=

2

3

x²-

4

3

x-2，
∴y=

2

3

（x-1）²-

8

3

，
∴頂點D的坐標為：（1，-

8

3

）．

（2）如圖2所示，∵M（1，0），D（1，-

8

3

）、C（0，-2），
∴OM=1，OC=2，DM=

8

3

，
∴S_△MCD=S_梯形OCDM-S_△OCM=

4

3

，
令Q=S（3t-19），
∴Q=

4

3

（3t-19）=4t-

76

3

，
∴當1＜t＜3時，Q是沒有最小值．

（3）如圖3所示，由A（-1，0）、B（3，0）；
可知AB=4，
∵A、B、P、N為頂點的四邊形是平行四邊形；
∴設P點的坐標為（4，n），
把P點的坐標代入拋物線的表達式y(tǒng)=

2

3

x²-

4

3

x-2，
解得；n=

10

3

，
∴P點的坐標為：（4，

10

3

）．

點評：題主要考查對用待定系數法求二次函數的解析式，平行四邊形的性質以及坐標系中面積的求法．