Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，延長CA到O，使AO=AC，以O(shè)為圓心，OA長為半徑作⊙O交BA延長線于點D，連接CD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AB=4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,等邊三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形,勾股定理,扇形面積的計算

專題：計算題,證明題

分析：（1）連接OD，求出∠OAD=60°，得出等邊三角形OAD，求出AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，求出∠ADC=∠ACD=

1

2

∠OAD=30°，求出∠ODC=90°，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）求出OD，根據(jù)勾股定理求出CD長，分別求出三角形ODC和扇形AOD的面積，相減即可．

解答：（1）證明：連接OD，
∵∠BCA=90°，∠B=30°，
∴∠OAD=∠BAC=60°，
∵OD=OA，
∴△OAD是等邊三角形，
∴AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，
∴∠ADC=∠ACD=

1

2

∠OAD=30°，
∴∠ODC=60°+30°=90°，
即OD⊥DC，
∵OD為半徑，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵AB=4，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴OD=OA=AC=

1

2

AB=2，
由勾股定理得：CD=

OC2-OD2

=

42-22

=2

3

，
∴S_陰影=S_△ODC-S_扇形AOD=

1

2

×2×2

3

-

60π×22

360

=2

3

-

2

3

π．

點評：本題考查了扇形的面積，切線的判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，綜合性比較強，有一定的難度．