Question

1．如圖，AD、BE是△ABC的兩條高，過點D作DF⊥AB，垂足為F，F(xiàn)D交BE于M，F(xiàn)D、AC的延長線交于點N．
（1）求證：△BFM∽△NFA；
（2）試探究線段FM、DF、FN之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；
（3）若AC=BC，DN=12，$tanN=\frac{1}{2}$，求線段AC的長．

Answer 1

分析 （1）由DF與AB垂直，AD、BE為高，利用垂直的定義得到直角相等，利用等式的性質得到一對角相等，利用兩對角相等的三角形相似即可得證；
（2）DF²=FM•FN，理由為：由（1）相似三角形，得比例，再利用兩角相等的三角形相似得到三角形BFD與三角形DFA相似，得比例，等量代換即可得證；
（3）由AC=BC，利用等邊對等角得到一對角相等，利用等角的余角相等得到一對角相等，再利用銳角三角函數(shù)定義得到FB=2FM，F(xiàn)D=4FM，根據(jù)（2）的結論求出FM的長，進而求出FB，F(xiàn)D，以及FN的長，再利用銳角三角函數(shù)定義求出AF，以及AB的長，利用勾股定理求出BD的長，即可求出AC的長．

解答 （1）證明：∵DF⊥AB，AD、BE是△ABC的高，
∴∠BFD=∠AFD=∠AEB=∠ADB=90°，
∴∠FBM=90°-∠BAC，∠N=90°-∠BAC，
∴∠FBM=∠N，
∵∠FBM=∠N，∠BFD=∠AFD，
∴△BFM∽△NFA；
（2）解：DF²=FM•FN，理由為：
證明：∵△BFM∽△NFA，
∴$\frac{FB}{FN}$=$\frac{FM}{FA}$，
∴FM•FN=FB•FA，
∵∠FBD+∠FDB=90°，∠FBD+∠FAD=90°，
∴∠FDB=∠FAD，
∵∠BFD=∠AFD，∠FDB=∠FAD，
∴△BFD∽△DFA，
∴$\frac{FB}{DF}$=$\frac{DF}{FA}$，即DF²=FB•FA，
∴DF²=FM•FN；
（3）解：∵AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
∵∠ABC+∠FDB=∠BAC+∠N=90°，
∴∠FDB=∠N=∠FBM，
∴$\frac{FM}{FB}$=tan∠FBM=tanN=$\frac{1}{2}$，$\frac{FB}{FD}$=tan∠FDB=tanN=$\frac{1}{2}$，
∴FB=2FM，F(xiàn)D=2FB=4FM，
∵DF²=FM•FN，
∴（4FM）²=FM•（4FM+12），
解得：FM=1或FM=0（舍去），
∴FB=2，F(xiàn)D=4，F(xiàn)N=FD+DN=16，
∵$\frac{AF}{FN}$=tanN=$\frac{1}{2}$，
∴AF=8，AB=AF+BF=10，
在Rt△BFD中，BD=$\sqrt{B{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ADB和Rt△ADC中，AD²=AB²-BD²=AC²-CD²，
∴AC²-（AC-2$\sqrt{5}$）²=10²-（2$\sqrt{5}$）²，
解得：AC=5$\sqrt{5}$．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．