Question

如圖，2×2網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）中有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G、H，O九個格點．拋物線l的解析式為y=（-1）ⁿx²+bx+c（n為整數(shù)）．
（1）n為奇數(shù)，且l經(jīng)過點H（0，1）和C（2，1），求b，c的值，并直接寫出哪個格點是該拋物線的頂點；
（2）n為偶數(shù)，且l經(jīng)過點A（1，0）和B（2，0），通過計算說明點F（0，2）和H（0，1）是否在該拋物線上；
（3）若l經(jīng)過這九個格點中的三個，直接寫出所有滿足這樣條件的拋物線條數(shù)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)-1的奇數(shù)次方等于-1，再把點H、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式計算即可求出b、c的值，然后把函數(shù)解析式整理成頂點式形式，寫出頂點坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)-1的偶數(shù)次方等于1，再把點A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式計算即可求出b、c的值，從而得到函數(shù)解析式，再根據(jù)拋物線上點的坐標(biāo)特征進(jìn)行判斷；
（3）分別利用（1）（2）中的結(jié)論，將拋物線平移，可以確定拋物線的條數(shù)．

解答：解：（1）n為奇數(shù)時，y=-x²+bx+c，
∵l經(jīng)過點H（0，1）和C（2，1），
∴

c=1 -4+2b+c=1

，
解得

b=2 c=1

，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+1，
y=-（x-1）²+2，
∴頂點為格點E（1，2）；

（2）n為偶數(shù)時，y=x²+bx+c，
∵l經(jīng)過點A（1，0）和B（2，0），
∴

1+b+c=0 4+2b+c=0

，
解得

b=-3 c=2

，
∴拋物線解析式為y=x²-3x+2，
當(dāng)x=0時，y=2，
∴點F（0，2）在拋物線上，點H（0，1）不在拋物線上；

（3）所有滿足條件的拋物線共有8條．
當(dāng)n為奇數(shù)時，由（1）中的拋物線平移又得到3條拋物線，如答圖3-1所示；
當(dāng)n為偶數(shù)時，由（2）中的拋物線平移又得到3條拋物線，如答圖3-2所示．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的對稱性，要注意（3）拋物線有開口向上和開口向下兩種情況．