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18.如圖,直線AB交x軸于點(diǎn)B(2,0),交y軸于點(diǎn)A(0,2),直線DM⊥x軸正半軸于點(diǎn)M,交線段AB于點(diǎn)C,DM=3,連接DA,∠DAC=90°.
(1)求直線AB的解析式.
(2)求D點(diǎn)坐標(biāo)及過O、D、B三點(diǎn)的拋物線解析式.
(3)若點(diǎn)P是線段OB上的動點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線交AB于F,交(2)中拋物線于E,連CE,是否存在P使△BPF與△FCE相似?若存在,請求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在說明理由.

分析 (1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì),可得D點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;
(3)根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),可得E點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式,可得E點(diǎn)坐標(biāo),可得P點(diǎn)坐標(biāo).

解答 解:(1)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得
{b=22k+b=0,
解得{k=1b=2
直線AB的解析式為y=-x+2;
(2)如圖1,
過D作DG⊥y軸,垂足為G,∵OA=OB=2,
∴△OAB是等腰直角三角形.
∵AD⊥AB,∴∠DAG=90°-∠OAB=45°即△ADG是等腰直角三角形,
∴DG=AG=OG-OA=DM-OA=3-2=1,
∴D點(diǎn)坐標(biāo)是(1,3);
設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x-2),將D點(diǎn)坐標(biāo)代入,得
a×1×(1-2)=3,解得a=-3,拋物線的解析式為y=-3x(x-2);
(3)由(2)得∠PBF=45°,則∠CFE=∠BFP=45°,設(shè)P(x,0),MP=x-1,PB=2-x,
①當(dāng)∠ECF=∠BPF=90°時,△BPF∽△FCE,
過C作CH⊥EF,CH=12EF,即EF=2CH=MP,
∴PE=PF+EF=BP+2MP=2-x+2(x-1)=x,即E(x,x).
將E點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線,得
x=-3x(x-2),
解得x1=0不符合題意,舍),x2=53,即P(53,0);
②如圖2,
當(dāng)∠CEF=∠BPF=90°時,△CEF、△BPF為等腰直角三角形,PE=MC=1,
∴E(x,1),
將E點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得
-3x(x-2)=1,
解得x1=363,x2=3+63
此時P(363,0)或(3+63,0),
綜上所述:P(53,0);(363,0)或(3+63,0).

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題,利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出E點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵,要分類討論,以防遺漏.

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